今学期、１年の「数学基礎」という論理・集合・写像を扱う授業と「数論」という初等整数論の授業、２年の「代数学」という週２コマの講義、３年の「代数学特論」という講義を担当しています。１年の２科目が必修です。
当初、２年の「代数学」では１年で集合や論理をやっているようなので代数系の入門、「代数学特論」は、シラバスによると前の年に群論はやっているみたいだから、環と線型空間の足りないところを補いながら体の拡大の話をして作図問題くらいでオチをつけて、あわよくばガロア理論、というような目論見でいたのですが、どちらも最初の時間から大幅に見込みが外れてしまいました。
２年の講義の最初に、群を定義しようとして、二項演算はある集合の直積集合から自分自身への写像とするので演算の結果は一通りに定まって値域に含まれないといけないので・・・、と、説明し始めると、わかんねーよ、と、怒号が飛び交って（笑）、え？ 写像は知ってるんじゃないの？と思っているうちに受講者が半減して（笑）、それでも何とか、群の定義を話し終えて、例として、整数の剰余類に加法をいれた $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の話をしようとして、$a\equiv b\ ({\rm mod}\ n)$ は同値関係だから $C(a)$ を同値類とすると、と、話し始めると、また、全然わかんねーよ、もう着いていけねーな、と、いう声がして、え？ 集合は知ってるんじゃないの？ と思っているうちに、次の時間にはさらに受講者が半減して（笑）、という調子で、結局、現在、落ち着いた十数人を相手に講義する、ということになりました。途中で方針変更しないほうがよいかと思ったので代数系の話を押し通すことにして（笑）、残った受講者の方々は諦めたのか、しぶしぶ着いてきているようですが、この頃は、記号がいかめしいだけで単純な原則を繰り返して使っているだけだとわかってきたようで、実は、残った方々の試験も演習もそんなに悪い出来ではないのですが（笑）
３年の講義も、環を定義したときに和に関しては可換群だから、と話し始めると不穏な雰囲気が漂って、開講２回目くらいでイデアルを法として合同を定義しはじめると、完全に混乱してしまったので、話を聴いてみるとやっぱり全然わからない、と、いうことで、こちらは受講している学生さんと相談して、群論から始めることにしました。 別に群論にこだわらなくても、例えば、古典的な方程式の話をしたり、複素数の幾何の話をしたりしてもよいのかな、と、思わなくもなかったのですが、例えば、私のゼミで輪読するテキストを選ぼうとすると、代数系の素養がないと読める本が極めて限られてしまって興味のある話題に触れられない可能性がありますし、私のゼミでなくても、例えば、卒業研究で数論の本を読んだりしている人はいるようで、私の研究室に岩波の「数論」を持ってきて、L関数の指標って何ですか？ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ から乗法群 $\mathbb{C}^{\times}$ への準同型写像って書いてあるけどどういうことなんですか？ と質問してきて、群から長々と説明したりした方もいたので、やはり、ある程度の割合の人は知っておいたほうがよいのだろうなあ、と、思いなおしたわけです。
そういうことで、今学期は、２年生は群・環・体、３年生も群をやることになってしまいました。上記のような調子だったので、同値関係が出てくると慎重になってしまいます。今学期の担当科目では、１年の「数学基礎」で一般の集合 $X$ に同値関係 $\sim$ を入れたときの同値類 $X/\sim$ を、「数論」では $n$ を法とした剰余類の集合 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を、２年での代数系の講義でも整数の剰余群としてみた $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と、群$G$ を部分群 $H$ を法として類別した $G/H$ と、可換環 $R$ をイデアル $I$ を法として類別した $R/I$ が出てきます。３年の講義でも、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と $G/H$ を説明しましたので、都合７回あります。私の生涯で、半年間にこんなに同値類別をするのは、最初で最後でしょう（笑） その都度、それぞれの定義に関して詳細に証明をつけて、同値関係 $\sim$ と同値類 $C(a)$ に関して、
\[
a\sim b, \qquad C(a)=C(b), \qquad a\in C(b)
\]がそれぞれ必要十分な命題であることを証明して、だから、「本田と香川が同じチーム」っていうことと、「本田の所属するチームと香川が所属するチームが同じ」っていうことと、「本田は香川のいるチームに所属している」っていうのがおんなじことだっていってるんだよ、いい？と、ワールドカップに便乗したオヤジギャグを７回繰り返しています（笑）
来年度、今の１年生からは、同値関係とわかった瞬間から、あとは一般論から成り立つって前にやったよねえ、と確信に満ちて突き放そうと思います（笑）
